Calcule phi=integral duplasigma F cdot n d S, o fluxo de F através de sigma, em cada caso:
(d) F(x, y, z)=x i+y j+2 z k, sigma é a parte da superfície z=1-x^2-y^2 situada acima do plano x O y e orientada para cima;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte da parábola acima do plano , e está orientada para cima. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo através de uma superfície, que envolve integrais de superfícies e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial phi = integral duplasigma F cdot n , dS através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície , que indica a direção perpendicular à superfície.

Passo 3

Precisamos encontrar o vetor normal nabla G = ( partial Gpartial x, partial Gpartial y, partial Gpartial z ) = (-2x, -2y, 1) à superfície . A superfície é dada por . Para encontrar , podemos usar o gradiente da função que define a superfície. Vamos chamar . O gradiente de é:
Esse é o vetor normal à superfície. Como a orientação é para cima, podemos usar diretamente .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral de fluxo. Primeiro, calculamos o produto escalar F cdot n = (x)(-2x) + (y)(-2y) + (2z)(1) = -2x^2 - 2y^2 + 2z :
F cdot n = -2x^2 - 2y^2 + 2(1 - x^2 - y^2) = -2x^2 - 2y^2 + 2 - 2x^2 - 2y^2 = 2 - 4x^2 - 4y^2
Mas como , podemos substituir :

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a superfície para integrar. A superfície acima do plano é um paraboloide que se abre para baixo, limitado pelo plano , ou seja, pela circunferência .
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e , com indo de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 6

Em coordenadas polares, a expressão F cdot n = 2 - 4r^2 fica:
phi = integral0^2pi integral0^1 (2 - 4r^2) cdot r , dr , dtheta
E o elemento de área em coordenadas polares é .
Portanto, a integral de fluxo fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integral0^1 (2 - 4r^2) r , dr = integral0^1 (2r - 4r^3) , dr = [ r^2 - r^4 ]0^1 = (1^2 - 1^4) - (0 - 0) = 1 - 1 = 0 :

Passo 8

Agora, vamos integrar em phi = integral0^2pi 0 , dtheta = 0 :

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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