Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(d)
é a parte da superfície
situada acima do plano
e orientada para cima;
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a parte da parábola
acima do plano
, e está orientada para cima. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo através de uma superfície, que envolve integrais de superfícies e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, que indica a direção perpendicular à superfície.
Passo 3
Precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. A superfície é dada por
. Para encontrar
, podemos usar o gradiente da função que define a superfície. Vamos chamar
. O gradiente de
é:
Esse é o vetor normal à superfície. Como a orientação é para cima, podemos usar diretamente
.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral de fluxo. Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Mas como
, podemos substituir
:
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a superfície para integrar. A superfície
acima do plano
é um paraboloide que se abre para baixo, limitado pelo plano
, ou seja, pela circunferência
.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, com
indo de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 6
Em coordenadas polares, a expressão
fica:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Portanto, a integral de fluxo fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Agora, vamos integrar em
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.