Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de F através de sigma (orientada positivamente) em cada caso:
(a) F(x, y, z) = (x^2 + y) * i + z^2 * j + (e^y - z) * k, sigma é a superfície do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e por x=3, y=1 e z = 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a superfície de um paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por . Em fórmula, isso fica:
Isso facilita muito a nossa vida, porque calcular a integral sobre o volume é geralmente mais simples do que calcular a integral sobre a superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo :
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos montar a integral tripla sobre o volume do paralelepípedo. Nosso volume está limitado por:
Então, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo de através de é igual a .

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