Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
(a) é a superfície do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e por e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a superfície de um paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por . Em fórmula, isso fica:
Isso facilita muito a nossa vida, porque calcular a integral sobre o volume é geralmente mais simples do que calcular a integral sobre a superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo :
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos montar a integral tripla sobre o volume do paralelepípedo. Nosso volume está limitado por:
Então, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :