Calcule as integrais a seguir.
integral0^4 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de √x no intervalo de 0 a 4. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente das integrais definidas. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra básica de integração para funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que √x pode ser escrita como integral0^4 x^1/2 , dx . Então, nossa integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar a regra de potência para integrar funções da forma integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . A regra diz que:
onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando a regra de potência à nossa integral:
integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 + C = x^3/23/2 + C = 23 x^3/2 + C

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de 0 a 4. Isso significa que vamos calcular a diferença entre o valor da antiderivada em 4 e em 0:
[ 23 x^3/2 ]0^4 = 23 (4)^3/2 - 23 (0)^3/2

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
  • 23 times 8 - 23 times 0 = 163 - 0 = 163 significa elevado ao cubo, que é .
  • .
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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