Calcule as integrais a seguir.
integralpi / 3^pi / 2 cos (2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração para funções trigonométricas, especialmente como integrar o cosseno de um múltiplo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar em relação a resulta em , mais uma constante de integração. No nosso caso, , então a antiderivada de será .

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração. A integral definida de [ 12sin(2theta) ]pi/3^pi/2 a de será:
Isso significa que vamos calcular para e , e depois subtrair os dois resultados.

Passo 4

Vamos calcular para 12sin(2 times pi2) = 12sin(pi) = 12 times 0 = 0 :
Pois sabemos que .

Passo 5

Agora, para 12sin(2 times pi3) = 12sin(2pi3) :
12 times raiz32 = raiz34
Sabemos que , então:

Resposta

Subtraindo os valores calculados:
0 - raiz34 = -raiz34
Então, o valor da integral é .

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