Calcule:
lim x 0^+ sen^2 xx^4-x^3

Passo 1

Vamos calcular o limite . Este exercício envolve o estudo de limites, utilizando funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta perto de zero e aplicar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador x^4 - x^3 = x^3(x - 1) . Podemos fatorar desse termo:

Passo 3

Substituindo a fatoração no limite, temos:
lim x 0^+ sin^2 xx^3(x - 1)

Passo 4

Sabemos que, para valores de próximos a zero, é aproximadamente igual a . Portanto, .

Passo 5

Substituindo essa aproximação no limite, obtemos:
lim x 0^+ x^2x^3(x - 1) = lim x 0^+ 1x(x - 1)

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de cada fator no denominador conforme se aproxima de :
  • ,
  • .
Portanto, .

Passo 7

A expressão 10^- = -infty para próximo de se comporta como:

Resposta

O limite é .

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