Calcule as integrais a seguir.
integral1^9 x-1raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração xraizx - 1raizx = raizx - x^-1/2 . Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Aqui, usamos que , e .

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral1^9 ( raizx - x^-1/2 ) dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral1^9 raizx , dx - integral1^9 x^-1/2 , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23 x^3/2 é integral x^-1/2 , dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/21/2 = 2 x^1/2 , desde que .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 9 para cada parte:
[ 23 x^3/2 ]1^9 - [ 2 x^1/2 ]1^9
Isso significa que vamos calcular e .

Passo 6

Calculando cada termo:
Para 9^3/2 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27 1^3/2 = 1 :
23 times 27 - 23 times 1 = 18 - 23 = 543 - 23 = 523
Então:
9^1/2 = raiz9 = 3 1^1/2 = 1
Para 2 times 3 - 2 times 1 = 6 - 2 = 4 :
Então:

Resposta

Agora, subtraímos os dois resultados:
523 - 4 = 523 - 123 = 403
Portanto, o valor da integral é .

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