Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
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Passo 1
Então, a gente tem a série
e precisamos saber se ela converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma função
positiva, contínua e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
converge se e somente se a integral
também converge.
Passo 3
Vamos verificar se a nossa função atende aos critérios do Teste da Integral:
- Positiva:
é sempre positiva porque o denominador é positivo para todo . - Contínua: A função
é contínua para todos os reais. - Decrescente: À medida que
aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, a função é decrescente.
Como a função atende a todos os critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar:
Deixe
, então
ou
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original
:
Agora, avaliamos a integral de 1 até
:
Como a integral converge para
, isso significa que a integral é finita.
Passo 6
Pelo Teste da Integral, como a integral
converge, então a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais a seguir.
Calcule a integral
onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
.
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Limpar minha escolha
Anterior
Próximo
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
1
Limpar minha escolha
Anterior
Próximo
Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
2. .
2.