Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
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Passo 1

Então, a gente tem a série e precisamos saber se ela converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma função positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se e somente se a integral também converge.

Passo 3

Vamos verificar se a nossa função atende aos critérios do Teste da Integral:
  1. Positiva: é sempre positiva porque o denominador é positivo para todo .
  2. Contínua: A função é contínua para todos os reais.
  3. Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, a função é decrescente.
Como a função atende a todos os critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar:
Deixe , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:
Voltando para a variável original :
Agora, avaliamos a integral de 1 até :
Como a integral converge para , isso significa que a integral é finita.

Passo 6

Pelo Teste da Integral, como a integral converge, então a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Considere a região delimitada pelas curvas e . Determine o valor da área dessa região.
Calcule as integrais a seguir.
Calcule a integral onde é a região do primeiro quadrante entre as retas .
Sugestão: use coordenadas polares.
Escolha uma opção:
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Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
2. .