Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
© sumn=1^infty 1(2 n+1)^2;

Passo 1

Então, a gente tem a série sumn=1^infty 1(2n+1)^2 e precisamos saber se ela converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele diz que se temos uma função positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se e somente se a integral também converge.

Passo 3

Vamos verificar se a nossa função atende aos critérios do Teste da Integral:
  1. Positiva: é sempre positiva porque o denominador é positivo para todo .
  2. Contínua: A função é contínua para todos os reais.
  3. Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, a função é decrescente.
Como a função atende a todos os critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral1^infty 1(2x+1)^2 , dx
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar:
Deixe , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral 1u^2 , du = 12 ( -1u ) + C
Voltando para a variável original 12 ( -12x + 1 ) = -12(2x + 1) :
limb to infty [ -12(2b + 1) + 12(2 cdot 1 + 1) ] = 0 + 16 = 16
Agora, avaliamos a integral de 1 até :
Como a integral converge para , isso significa que a integral é finita.

Passo 6

Pelo Teste da Integral, como a integral converge, então a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(2n+1)^2 converge.

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