Considere a região delimitada pelas curvas e . Determine o valor da área dessa região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente a integração de funções. Vamos precisar identificar onde as curvas se intersectam e então calcular a integral entre esses pontos para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as curvas se intersectam quando e .

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar qual curva está por cima da outra nesse intervalo. Para facilitar, escolhemos um valor de entre -1 e 2, por exemplo, .
Substituindo nas equações:
Aqui, dá um valor maior que , então a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções que delimitam a região. A fórmula geral é:
Á
Onde é a função de cima e a de baixo. No nosso caso:

Passo 5

Vamos montar a integral:
Á
Á
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -1 a 2:
Á
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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