Considere a região delimitada pelas curvas
e
. Determine o valor da área dessa região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente a integração de funções. Vamos precisar identificar onde as curvas se intersectam e então calcular a integral entre esses pontos para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as curvas se intersectam quando
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar qual curva está por cima da outra nesse intervalo. Para facilitar, escolhemos um valor de
entre -1 e 2, por exemplo,
.
Substituindo
nas equações:
Aqui,
dá um valor maior que
, então a curva
está acima da
nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções que delimitam a região. A fórmula geral é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo. No nosso caso:
Passo 5
Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -1 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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Calcule as integrais a seguir.
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Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
© ;
©
Calcule a integral
onde
é a região do primeiro quadrante entre as retas
.
Sugestão: use coordenadas polares.
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