Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para calcular . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e interpretação delas em termos de áreas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções lineares e interpretar o resultado como área sob a curva no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Essa é uma função linear que desenha uma reta. Para calcular a integral definida de 0 a 1 dessa função, estamos basicamente encontrando a área líquida entre a reta e o eixo x no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade : .
Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
.
Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(e)
Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(g)