Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade : .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região D definida por e , com a função densidade . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa da lâmina. A massa () é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região D:
Como é um retângulo, podemos escrever:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a ):
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . Primeiro, encontramos :
Passo 6
Resolvendo a integral interna:
Passo 7
Integrando em relação a :
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular :
Passo 9
Resolvendo a integral interna:
Passo 10
Integrando em relação a :
Então,
Resposta
A massa da lâmina é unidades de massa e o centro de massa está localizado nas coordenadas .