Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho : D = {(x, y) | 1 <= x <= 3, 1 <= y <= 4} ; rho(x, y) = k * y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região D definida por e , com a função densidade . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa da lâmina. A massa ( ) é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região D:
Como é um retângulo, podemos escrever:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a ):

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . Primeiro, encontramos :

Passo 6

Resolvendo a integral interna:

Passo 7

Integrando em relação a :
Então,

Passo 8

Agora, vamos calcular :

Passo 9

Resolvendo a integral interna:

Passo 10

Integrando em relação a :
Então,

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa e o centro de massa está localizado nas coordenadas .

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