Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral definida de -2 a 2 de
em relação a
. Isso está ligado ao cálculo de áreas sob curvas, que é um conceito da matemática conhecido como cálculo integral. Vamos precisar entender como a função
se comporta no intervalo dado para descobrir a área que ela delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O
representa o valor absoluto de
, ou seja, a distância de
até zero na reta numérica, sempre positiva ou zero. Então,
vai nos dar valores que diminuem à medida que
se afasta de zero, tanto para valores positivos quanto negativos de
.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico dessa função para visualizar melhor. Para
, temos
. À medida que
aumenta para 2 ou diminui para -2,
vai até
, porque
e
. No entanto, como estamos falando de área, vamos considerar as partes positivas. O gráfico forma um “V” invertido, com vértice em (0,1) e cruzando o eixo
em -1 e 1.
Passo 4
Agora, para calcular a área sob essa curva entre -2 e 2, vamos dividir o gráfico em duas partes: de -2 a 0 e de 0 a 2. Cada parte forma um triângulo: um à esquerda e outro à direita do ponto (0,1).
Passo 5
Vamos calcular a área de um desses triângulos. A base de cada triângulo é 2 unidades (de -2 a 0 ou de 0 a 2) e a altura é 1 (do ponto (0,1) até o eixo
). A fórmula para a área de um triângulo é
.
Passo 6
Como temos dois triângulos iguais, a área total será a soma das áreas dos dois triângulos:
Resposta
O valor da integral
é 2.
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(b)
(b)
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade
:
.
Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(g)
(g)
Se
e
, ache
.