Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(e)

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de -2 a 2 de em relação a . Isso está ligado ao cálculo de áreas sob curvas, que é um conceito da matemática conhecido como cálculo integral. Vamos precisar entender como a função se comporta no intervalo dado para descobrir a área que ela delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O representa o valor absoluto de , ou seja, a distância de até zero na reta numérica, sempre positiva ou zero. Então, vai nos dar valores que diminuem à medida que se afasta de zero, tanto para valores positivos quanto negativos de .

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessa função para visualizar melhor. Para , temos . À medida que aumenta para 2 ou diminui para -2, vai até , porque e . No entanto, como estamos falando de área, vamos considerar as partes positivas. O gráfico forma um “V” invertido, com vértice em (0,1) e cruzando o eixo em -1 e 1.

Passo 4

Agora, para calcular a área sob essa curva entre -2 e 2, vamos dividir o gráfico em duas partes: de -2 a 0 e de 0 a 2. Cada parte forma um triângulo: um à esquerda e outro à direita do ponto (0,1).

Passo 5

Vamos calcular a área de um desses triângulos. A base de cada triângulo é 2 unidades (de -2 a 0 ou de 0 a 2) e a altura é 1 (do ponto (0,1) até o eixo ). A fórmula para a área de um triângulo é .
Áâ

Passo 6

Como temos dois triângulos iguais, a área total será a soma das áreas dos dois triângulos:
Á

Resposta

O valor da integral é 2.

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Se e , ache .