Calcule os limites, se existirem, ou justifique caso não exista.
lim x 0 x 2^cos (pix^2).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, propriedades de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de -1 <= cos(pix^2) <= 1 quando está perto de 0. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Com essa informação, podemos elevar 2 a esses limites:
2^-1 <= 2^cos(pix^2) <= 2^1
12 <= 2^cos(pix^2) <= 2

Passo 4

Agora, nossa função original fica limitada assim:
12 cdot x <= x cdot 2^cos(pix^2) <= 2 cdot x
Como está se aproximando de 0, tanto quanto vão para 0.

Passo 5

Pela regra do sanduíche (ou teorema das cotações), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é o mesmo. Portanto:
limx to 0 x cdot 2^cos(pix^2) = 0

Resposta

O limite é 0.

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