Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(g) integral0^3|3 x-5| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais definidas e interpretação geométrica como área sob a curva. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e dividir a integral em partes onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a expressão 3x - 5 = 0 implies 3x = 5 implies x = 53 é igual a zero, porque é nesse ponto que o valor absoluto vai mudar. Resolvendo :
Então, é o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes nesse ponto de mudança:
integral0^3|3x - 5| , dx = integral0^53|3x - 5| , dx + integral53^3|3x - 5| , dx

Passo 4

Vamos analisar cada parte:
  1. Para , é negativo, então .
  2. Para , é positivo ou zero, então .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^53 (5 - 3x) , dx + integral53^3 (3x - 5) , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral (5 - 3x) , dx = 5x - 32x^2
Avaliada de 0 a [5 (53) - 32 (53)^2] - [5(0) - 32(0)^2] = 253 - 7518 = 253 - 256 = 256 :
integral (3x - 5) , dx = 32x^2 - 5x
Segunda integral:
[32(3)^2 - 5(3)] - [32(53)^2 - 5(53)] = [272 - 15] - [7518 - 253] = [272 - 302] - [256 - 506] = -32 + 256 = -9 + 256 = 166 = 83
Avaliada de a 3:

Resposta

Somando as duas partes:
256 + 83 = 256 + 166 = 416
Então, o valor da integral é .

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