Calcule as integrais seguir, por partes:
© integral 3 x^4 ln x d x( Resposta: 3 x^55(ln x-15)+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular . Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da expressão vão ser escolhidas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e . No método de integração por partes, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.
Aqui, vamos escolher:
  • (porque sua derivada é mais simples)
  • (porque podemos integrar facilmente)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 1x dx e v = integral 3x^4 dx = 3 cdot x^55 = 3x^55 :
  • Derivando , temos:
  • Integrando , temos:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 3x^4 ln x , dx = 3x^55 ln x - integral 3x^55 cdot 1x dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral 3x^55 cdot 1x dx = integral 3x^45 dx = 35 integral x^4 dx
Integrando 35 cdot x^55 = 3x^525 :

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral 3x^4 ln x , dx = 3x^55 ln x - 3x^525 + C
Podemos fatorar 3x^55 ( ln x - 15 ) + C para simplificar:

Resposta

3 x^55(ln x-15)+C

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