Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(d) integral cos ^2(t) sen^2(t) d t (Resposta: 116(2 t-sen(4 t)2)+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de funções trigonométricas! A gente precisa calcular . Para isso, vamos usar algumas técnicas de cálculo e identidades trigonométricas que ajudam a simplificar integrais envolvendo potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil para simplificar cos^2(t) = 1 + cos(2t)2 e sen^2(t) = 1 - cos(2t)2 e . Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas identidades na nossa integral:

Passo 4

Vamos multiplicar os termos dentro dos parênteses:
(1 + cos(2t)2) (1 - cos(2t)2) = (1 + cos(2t))(1 - cos(2t))4 = 1 - cos^2(2t)4

Passo 5

Substituímos de volta na integral:
integral 1 - cos^2(2t)4 , dt = 14 integral (1 - cos^2(2t)) , dt

Passo 6

Temos outra identidade para cos^2(2t) = 1 + cos(4t)2 :
14 integral (1 - 1 + cos(4t)2) , dt = 14 integral (2 - 1 - cos(4t)2) , dt = 14 integral (1 - cos(4t)2) , dt
Substituindo na integral:

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
14 cdot 12 integral (1 - cos(4t)) , dt = 18 integral (1 - cos(4t)) , dt

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Simplificando os coeficientes finais:

Resposta

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