Calcule as integrais seguir, por partes:
(g) integral sen^-1(2 x) d x (Resposta: 12[2 x sen^-1(2 x)+raiz1-4 x^2]+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, a gente vai precisar escolher quais partes da nossa função serão e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Então, precisamos escolher e na nossa integral .

Passo 3

Vamos deixar du = ddx sen^-1(2x) , dx = 2raiz1 - (2x)^2 , dx = 2raiz1 - 4x^2 , dx . Assim, será a derivada de em relação a . Para encontrar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos escolher v = integral dx = x . Integrando ambos os lados, encontramos :

Passo 5

Com integral sen^-1(2x) , dx = u , v - integral v , du = sen^-1(2x) cdot x - integral x cdot 2raiz1 - 4x^2 , dx e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Vamos fazer uma substituição simples: deixe , então . Rearranjando, temos .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral 2xraiz1 - 4x^2 , dx = 2 cdot (-18) integral 1raizw , dw = -14 integral w^-1/2 , dw = -14 cdot 2 w^1/2 + C = -12 raizw + C
Voltando para -12 raiz1 - 4x^2 + C :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na fórmula da integração por partes:
integral sen^-1(2x) , dx = x cdot sen^-1(2x) - (-12 raiz1 - 4x^2) + C = x cdot sen^-1(2x) + 12 raiz1 - 4x^2 + C
Simplificando um pouco:
12 [2x cdot sen^-1(2x) + raiz1 - 4x^2] + C

Resposta

12[2x sen^-1(2x) + raiz1 - 4x^2] + C

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