Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
© integral cos ^7(3 x) sen^3(3 x) d x (Resposta: -cos ^8(3 x)24+cos ^10(3 x)30+C )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de uma função trigonométrica específica, que é . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Precisaremos aplicar identidades trigonométricas e substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: . Note que temos potências ímpares de sen(3x). Quando enfrentamos potências ímpares de seno ou cosseno, uma boa estratégia é separar um fator que nos permita usar a identidade trigonométrica fundamental.

Passo 3

Vamos separar um da para facilitar a substituição:

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir :

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = cos(3x). Então, a derivada de u em relação a x é:

Passo 6

Substituindo u e du na integral, temos:
integral u^7 (1 - u^2) (-13) du = -13 integral (u^7 - u^9) , du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
-13 ( integral u^7 , du - integral u^9 , du )
Integrando:
-13 ( u^88 - u^1010 ) + C

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
-u^824 + u^1030 + C

Passo 9

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = cos(3x):
-cos^8(3x)24 + cos^10(3x)30 + C

Resposta

-cos^8(3x)24 + cos^10(3x)30 + C

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