Calcule as integrais seguir, por partes:
(b) integral1^3 ln (2 x) d x (Resposta: ln (108)-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de funções e queremos simplificar a integral. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que iremos derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(2x) e dv = dx
Agora, vamos derivar du = ddx[ln(2x)] , dx = 22x , dx = 1x , dx e integrar v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln(2x) , dx = uv - integral v , du = x ln(2x) - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
integral ln(2x) , dx = x ln(2x) - x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3.

Passo 6

Calculando em 3 ln(2 cdot 3) - 3 = 3 ln(6) - 3 :
1 ln(2 cdot 1) - 1 = ln(2) - 1
E em :

Passo 7

Subtraindo os valores:
[3 ln(6) - 3] - [ln(2) - 1] = 3 ln(6) - 3 - ln(2) + 1 = 3 ln(6) - ln(2) - 2
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
3 ln(6) - ln(2) = ln(6^3) - ln(2) = ln(216) - ln(2) = ln(2162) = ln(108)

Resposta

integral1^3 ln (2x) , dx = ln(108) - 2

Exercícios relacionados