Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(a) (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Isso porque o denominador é um polinômio do segundo grau que podemos fatorar. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , pois e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia aqui é escrever:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos deixar :
Em seguida, escolhemos :

Passo 5

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que , temos:

Passo 7

Juntando tudo, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a .

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© (Resposta:
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(e) Resposta: