Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(a) integral2 ln x-9x^2+3 x-10 d x (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Isso porque o denominador é um polinômio do segundo grau que podemos fatorar. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , pois e . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompôr a fração x-9(x+5)(x-2) = Ax+5 + Bx-2 em frações parciais. A ideia aqui é escrever:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5) e 2 - 9 = A(2 - 2) + B(2 + 5) -7 = 0 + 7B B = -1 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum -5 - 9 = A(-5 - 2) + B(-5 + 5) -14 = -7A + 0 A = 2 :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos deixar :
Em seguida, escolhemos :

Passo 5

Agora que encontramos x-9(x+5)(x-2) = 2x+5 - 1x-2 e integral x-9x^2+3x-10 dx = integral ( 2x+5 - 1x-2 ) dx , podemos reescrever a fração original:
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que integral 2x+5 dx = 2 ln|x+5| , temos:
integral -1x-2 dx = -ln|x-2|

Passo 7

Juntando tudo, a integral fica:
2 ln|x+5| - ln|x-2| + C

Resposta

A integral é igual a .

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