Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(a)
(Resposta:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais. Isso porque o denominador é um polinômio do segundo grau que podemos fatorar. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, pois
e
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos decompôr a fração
em frações parciais. A ideia aqui é escrever:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos deixar
:
Em seguida, escolhemos
:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que
, temos:
Passo 7
Juntando tudo, a integral fica:
Resposta
A integral é igual a
.
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(g)
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(b)
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© (Resposta:
©
Resolva as integrais abaixo:
(e) Resposta:
(e)