Calcule as integrais seguir, por partes:
(f) integral x^2 sen(a x) d x (Resposta: -x^2 cos (a x)a+2 x sen(a x)a^2+2 cos (a x)a^3+C )

Passo 1

Vamos calcular a integral . Aqui, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos saber escolher qual parte da função será integral x^2 sen(a x) , dx e qual será u.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da nossa integral:
  • Seja u = x^2.
  • Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u, temos du = 2x , dx.
  • Integrando dv, temos v = -cos(a x)a.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
integral x^2 sen(a x) , dx = x^2 ( -cos(a x)a ) - integral ( -cos(a x)a ) cdot 2x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral x cos(a x) , dx usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
  • Seja u = x.
  • Então, dv = cos(a x) , dx.

Passo 6

Calculamos du e v:
  • Derivando u, temos du = dx.
  • Integrando dv, temos .

Passo 7

Aplicamos a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:

Passo 8

Integrando :
Substituindo de volta:

Passo 9

Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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