Calcule as integrais seguir, por partes:
(f) (Resposta: )

Passo 1

Vamos calcular a integral . Aqui, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos saber escolher qual parte da função será e qual será .

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da nossa integral:
  • Seja .
  • Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando , temos .
  • Integrando , temos .

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral usando novamente a integração por partes.
Escolhemos:
  • Seja .
  • Então, .

Passo 6

Calculamos e :
  • Derivando , temos .
  • Integrando , temos .

Passo 7

Aplicamos a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:

Passo 8

Integrando :
Substituindo de volta:

Passo 9

Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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(b) (Resposta: )
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(k) (Resposta: )
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(b) Resposta:
Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(b) (Resposta: