Calcule as integrais seguir, por substituição:
(k) integral0^pi2 cos x e^sen(x) d x (Resposta: e-1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar o método de substituição, que é uma técnica pra facilitar integrais complexas. Vamos precisar entender como escolher a substituição certa e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para simplificar. Olha só, a gente tem no expoente e multiplicando. Se escolhermos , então a derivada de em relação a é . Legal, porque temos na integral!

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição:
u = sin(x)
du = cos(x) , dx
Isso significa que integral e^u , du . A integral agora fica mais simples:

Passo 4

Integrando integral e^u , du = e^u + C em relação a é fácil:
onde é a constante de integração. Mas como estamos com limites, vamos aplicar os limites diretamente depois.

Passo 5

Agora, voltamos às variáveis originais substituindo e^u |0^pi2 = e^sin(pi2) - e^sin(0) :
e^1 - e^0 = e - 1
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral vale .

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