Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(b) Resposta:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 3. Vamos usar o método de frações parciais, que serve para decompor funções racionais em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, a gente fatoriza o denominador . Sabemos que isso pode ser escrito como . Então, temos:

Passo 3

Agora, a gente decompõe essa fração em frações parciais. Queremos escrever:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, ficamos com:

Passo 5

Para encontrar os valores de e , vamos escolher valores de que simplificam a equação. Se :
E se :

Passo 6

Então, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 8

Sabemos que a integral de é , então:

Passo 9

Aplicando os limites de 2 a 3:

Passo 10

Simplificando as frações dentro dos logaritmos:

Resposta

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(f) (Resposta: )
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(b) (Resposta: )
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(b) (Resposta:
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(b) Resposta: