Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(b)
Resposta:
(b)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de
no intervalo de 2 a 3. Vamos usar o método de frações parciais, que serve para decompor funções racionais em frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, a gente fatoriza o denominador
. Sabemos que isso pode ser escrito como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, a gente decompõe essa fração em frações parciais. Queremos escrever:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, ficamos com:
Passo 5
Para encontrar os valores de
e
, vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Se
:
E se
:
Passo 6
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 8
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 9
Aplicando os limites de 2 a 3:
Passo 10
Simplificando as frações dentro dos logaritmos:
Resposta
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(f) (Resposta:
)
(f)
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(b) (Resposta:
)
(b)
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(b) (Resposta:
(b)
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(b) Resposta:
(b)