Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(b) integral2^3 1x^2-1 d x( Resposta: 12 ln 32)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 3. Vamos usar o método de frações parciais, que serve para decompor funções racionais em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, a gente fatoriza o denominador 1x^2-1 = 1(x-1)(x+1) . Sabemos que isso pode ser escrito como . Então, temos:

Passo 3

Agora, a gente decompõe essa fração em frações parciais. Queremos escrever:
1(x-1)(x+1) = Ax-1 + Bx+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x+1) + B(x-1) para eliminar os denominadores, ficamos com:

Passo 5

Para encontrar os valores de 1 = A(2) + B(0) Rightarrow A = 12 e 1 = A(0) + B(-2) Rightarrow B = -12 , vamos escolher valores de que simplificam a equação. Se :
E se :

Passo 6

Então, a decomposição fica:
1x^2-1 = 1/2x-1 - 1/2x+1

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x^2-1 dx = 12 integral 1x-1 dx - 12 integral 1x+1 dx

Passo 8

Sabemos que a integral de 12 ln|x-1| - 12 ln|x+1| é , então:

Passo 9

Aplicando os limites de 2 a 3:
12 ln(3-13+1) - 12 ln(2-12+1)
= 12 ln(24) - 12 ln(13)

Passo 10

Simplificando as frações dentro dos logaritmos:
12 ln(12) + 12 ln(3)
= 12 ln(32)

Resposta

12 ln 32

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