Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(b) integral-pi / 2^pi / 2 cos ^2(x) d x (Resposta: pi / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e precisamos calcular a área sob a curva da função entre e . Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^2(x) = 1 + cos(2x)2 pode ser reescrito usando a identidade de redução de potência:
Essa identidade ajuda a transformar o quadrado do cosseno em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral-pi / 2^pi / 2 cos^2(x) , dx = integral-pi / 2^pi / 2 1 + cos(2x)2 , dx na integral original:
12 integral-pi / 2^pi / 2 1 , dx + 12 integral-pi / 2^pi / 2 cos(2x) , dx
Podemos dividir essa integral em duas partes:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
12 integral-pi / 2^pi / 2 1 , dx = 12 [ x ]-pi / 2^pi / 2 = 12 ( pi2 - (-pi2) ) = 12 cdot pi = pi2
Segunda integral:
12 integral-pi / 2^pi / 2 cos(2x) , dx
A integral de 12 [ sin(2x)2 ]-pi / 2^pi / 2 = 14 ( sin(pi) - sin(-pi) ) = 14 (0 - 0) = 0 é , então:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
pi2 + 0 = pi2
Portanto, .

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