Calcule as integrais seguir, por substituição:
(1)
(Resposta:
)
3
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(a)
(Resposta:
(1)
3
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma fração racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o numerador
e o denominador
. Notamos que o denominador é parecido com a derivada de
, o que é um bom sinal para fazermos uma substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
No nosso integrando, temos
, que podemos reescrever como
. Sabendo que
, temos
. Assim, substituindo na integral:
Substituindo
por
:
Passo 4
Agora, podemos integrar termo a termo:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 5
Como os limites de integração são de 0 a 1, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor definido da integral:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas elevadas a uma potência ímpar. Para resolver isso, utilizaremos a técnica de manipulação de identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 7
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Podemos escrever:
Sabemos que
pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:
Passo 8
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, podemos integrar termo a termo:
Substituindo
de volta:
Resposta
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Seja a função
© Faça a integral do item (b) usando frações parciais. (Resposta: )
© Faça a integral do item (b) usando frações parciais. (Resposta:
Resolva as integrais abaixo:
(k) (Resposta: Não converge.)
18
Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(a) (Dica: use a substituição
e faça depois por partes, Resposta:
(k)
18
Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(a)
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
© (Resposta:
)
©
Calcule as integrais seguir, por partes:
(b) (Resposta:
(b)