Calcule as integrais seguir, por substituição:
(1) integral0^1 x^31+x^2 d x (Resposta: 12-ln (2)2 )
3
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(a) integral cos ^3(x) d x (Resposta: sen(x)-sen^3(x)3+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma fração racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador u = 1 + x^2 e o denominador . Notamos que o denominador é parecido com a derivada de , o que é um bom sinal para fazermos uma substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 em relação a integral x^31+x^2 , dx = integral (u - 1)xu , dx :
= integral u - 1u cdot du2 = 12 integral (1 - 1u) du
No nosso integrando, temos , que podemos reescrever como . Sabendo que , temos . Assim, substituindo na integral:
Substituindo por :

Passo 4

Agora, podemos integrar termo a termo:
12 integral 1 , du - 12 integral 1u , du = 12 u - 12 ln|u| + C
Lembrando que = 12 (1 + x^2) - 12 ln(1 + x^2) + C , substituímos de volta:

Passo 5

Como os limites de integração são de 0 a 1, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor definido da integral:
[ 12 (1 + x^2) - 12 ln(1 + x^2) ]0^1
Calculando para 12 (1 + 1) - 12 ln(2) = 1 - ln(2)2 :
12 (1 + 0) - 12 ln(1) = 12 - 0 = 12
E para (1 - ln(2)2) - 12 = 12 - ln(2)2 :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas elevadas a uma potência ímpar. Para resolver isso, utilizaremos a técnica de manipulação de identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 7

Primeiro, vamos reescrever cos^3(x) = cos^2(x) cdot cos(x) de uma forma que facilite a integração. Podemos escrever:
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
Sabemos que integral cos^3(x) , dx = integral (1 - sin^2(x)) cos(x) , dx pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:

Passo 8

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) , du

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Substituindo sin(x) - sin^3(x)3 + C de volta:

Resposta

sin(x) - sin^3(x)3 + C

Exercícios relacionados