Calcule as integrais seguir, por substituição:
(1) (Resposta: )
3
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(a) (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma fração racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador e o denominador . Notamos que o denominador é parecido com a derivada de , o que é um bom sinal para fazermos uma substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
No nosso integrando, temos , que podemos reescrever como . Sabendo que , temos . Assim, substituindo na integral:
Substituindo por :

Passo 4

Agora, podemos integrar termo a termo:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 5

Como os limites de integração são de 0 a 1, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor definido da integral:
Calculando para :
E para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas elevadas a uma potência ímpar. Para resolver isso, utilizaremos a técnica de manipulação de identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 7

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Podemos escrever:
Sabemos que pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:

Passo 8

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:
Substituindo de volta:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja a função
© Faça a integral do item (b) usando frações parciais. (Resposta: )
Resolva as integrais abaixo:
(k) (Resposta: Não converge.)
18
Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(a) (Dica: use a substituição e faça depois por partes, Resposta:
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
© (Resposta: )
Calcule as integrais seguir, por partes:
(b) (Resposta: