Calcule as integrais seguir, por substituição:
(g) integrale^e^4 1x raizln (x) d x (Resposta: 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de 1x raizln(x) de x = e até x = e^4. Vamos usar o método de substituição para facilitar essa integral. Para isso, a gente vai precisar entender como trocar de variável e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar u = ln(x). A função logarítmica está dentro da raiz, então isso deve ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du. Sabemos que dudx = 1x, então du = 1x dx. Observe que isso aparece exatamente no numerador da nossa integral, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração para a nova variável u. Quando x = e, temos u = ln(e) = 1. Quando x = e^4, temos u = ln(e^4) = 4. Então agora nossa integral vai de u = 1 até u = 4.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral1^4 1raizu du
Essa expressão é bem mais simples para integrar!

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de 1raizu em relação a u. Sabemos que integral u^-1/2 du = 2u^1/2 + C. Aplicando isso aos limites de 1 a 4:
2u^1/2 |1^4 = 2(raiz4 - raiz1) = 2(2 - 1) = 2

Resposta

2

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