Calcule as integrais seguir, por substituição:
(e) integral tg(y) d y( Resposta: -ln |cos (y)|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de tg(y) , dy. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer as propriedades das funções trigonométricas e como aplicar a substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg(y) é a mesma coisa que tan(y). Então a integral que queremos calcular é:
integral tan(y) , dy

Passo 3

Sabemos que tan(y) pode ser escrita como sin(y)cos(y). Então, substituindo na integral, temos:
integral sin(y)cos(y) , dy

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
u = cos(y)
Então, a derivada de u em relação a y é:
dudy = -sin(y) Rightarrow du = -sin(y) , dy

Passo 5

Vamos rearranjar para substituir na integral:
-duu = sin(y)cos(y) , dy
Portanto, nossa integral fica:
-integral duu

Passo 6

A integral de 1u em relação a u é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Então:
-ln|u| + C

Passo 7

Agora, vamos substituir u de volta pela expressão original em termos de y:
-ln|cos(y)| + C

Resposta

A integral de tg(y) , dy é:
-ln |cos(y)| + C

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