Calcule as integrais seguir, por substituição:
(h) integral0^pi / 2 x sen(x^2) d x (Resposta: 12-cos (pi^24)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando o método de substituição. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, como aqui onde temos multiplicando . Vamos precisar usar a regra de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Aqui, vamos deixar . Isso porque a derivada de vai simplificar o que está fora da seno.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x implies du = 2x , dx em relação a :
Isso mostra que pode ser substituído por .

Passo 4

Vamos substituir na integral original:
Agora, precisamos mudar os limites de integração. Quando integral0^pi / 2 x sen(x^2) dx = integralu(0)^u(pi/2) sen(u) cdot du2 , . Quando , .

Passo 5

Substituindo os limites, a integral fica:
Agora, a integral de é 12 integral0^pi^24 sen(u) du , então vamos calcular isso.

Passo 6

Calculando a antiderivada:
12 [ -cos(u) ]0^pi^24 = 12 ( -cos(pi^24) + cos(0) )
Sabemos que , então:

Passo 7

Simplificando a expressão:
12 ( 1 - cos(pi^24) )

Resposta

12 - 12cos(pi^24)

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