Seja a função
© Faça a integral do item (b) usando frações parciais. (Resposta: )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa fazer a integral dessa função usando frações parciais. Isso envolve decompor a fração em partes mais simples para facilitar a integração. Vamos precisar entender como funciona a decomposição em frações parciais e aplicar logaritmos para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função . A expressão é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como soma de frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, vamos deixar :
Agora, deixamos :

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a fração original como:

Passo 6

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
As integrais de são , então temos:

Passo 7

Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral de usando frações parciais é:

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(a) (Resposta:
Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
© (Resposta: )