Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(b) integral x-4x^2+5 x+6 d x (Dica: Use frações parciais, Resposta: ln (|x+3|^7|x+2|^6)+C )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos usar o método de frações parciais. Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a divisão.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração x - 4(x + 2)(x + 3) = Ax + 2 + Bx + 3 como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x - 4 = A(x + 3) + B(x + 2) para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, vamos resolver para -3 - 4 = A(-3 + 3) + B(-3 + 2) -7 = 0 + B(-1) B = 7 e -2 - 4 = A(-2 + 3) + B(-2 + 2) -6 = A(1) + 0 A = -6 . Podemos escolher valores de que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher :
Em seguida, escolhemos :

Passo 6

Com x - 4(x + 2)(x + 3) = -6x + 2 + 7x + 3 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -6x + 2 dx + integral 7x + 3 dx
A integral de -6 ln|x + 2| + 7 ln|x + 3| + C é , então:

Resposta

A integral ln (|x + 3|^7|x + 2|^6) + C é:

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