Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(d) integral0^1 ln (x^2+2 x+1)x+1 d x (Dica: faça a fatoração do argumento do logaritmo e use a substituição com u=ln (x+1), Resposta: ln ^2(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como substituição e propriedades dos logaritmos. Além disso, vamos precisar fatorar o argumento do logaritmo para facilitar a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o argumento do logaritmo: ln(x^2 + 2x + 1) = ln((x + 1)^2) . Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser reescrito como . Então, temos:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln((x + 1)^2) = 2 ln(x + 1) , podemos simplificar:
integral0^1 2 ln(x + 1)x + 1 , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral extraindo o 2:
2 integral0^1 ln(x + 1)x + 1 , dx
Agora, aqui é onde vamos usar a substituição. Vamos definir . Então, precisamos encontrar .

Passo 5

Calculando a derivada de u = ln(x + 1) dudx = 1x + 1 du = 1x + 1 , dx em relação a :
Perceba que está exatamente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 6

Substituindo na integral:
2 integral u , du
Isso simplifica para uma integral de em relação a , que é bem simples de resolver.

Passo 7

Integrando:
2 cdot u^22 + C = u^2 + C
Agora, substituímos u^2 = (ln(x + 1))^2 de volta em termos de (ln(x + 1))^2 + C :
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a 1:
[(ln(1 + 1))^2 - (ln(0 + 1))^2]
Calculando cada termo:
ln(2)^2 - ln(1)^2 = (ln 2)^2 - 0 = (ln 2)^2

Resposta

ln^2(2)

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