Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(d)
(Dica: faça a fatoração do argumento do logaritmo e use a substituição com
, Resposta:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como substituição e propriedades dos logaritmos. Além disso, vamos precisar fatorar o argumento do logaritmo para facilitar a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o argumento do logaritmo:
. Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser reescrito como
. Então, temos:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral extraindo o 2:
Agora, aqui é onde vamos usar a substituição. Vamos definir
. Então, precisamos encontrar
.
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Perceba que
está exatamente na nossa integral, o que facilita a substituição.
Passo 6
Substituindo na integral:
Isso simplifica para uma integral de
em relação a
, que é bem simples de resolver.
Passo 7
Integrando:
Agora, substituímos
de volta em termos de
:
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a 1:
Calculando cada termo:
Resposta
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(b) (Resposta:
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