Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(d) (Dica: faça a fatoração do argumento do logaritmo e use a substituição com , Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como substituição e propriedades dos logaritmos. Além disso, vamos precisar fatorar o argumento do logaritmo para facilitar a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o argumento do logaritmo: . Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser reescrito como . Então, temos:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral extraindo o 2:
Agora, aqui é onde vamos usar a substituição. Vamos definir . Então, precisamos encontrar .

Passo 5

Calculando a derivada de em relação a :
Perceba que está exatamente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 6

Substituindo na integral:
Isso simplifica para uma integral de em relação a , que é bem simples de resolver.

Passo 7

Integrando:
Agora, substituímos de volta em termos de :
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a 1:
Calculando cada termo:

Resposta

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