Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais
© integral12 ln |3 x+5(x+1|-4x-1+C) 3 x(x+1)(x-1)^2 d x (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando frações parciais. O enunciado pede para calcular a integral de 3x(x+1)(x-1)^2 , dx. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a fração pode ser escrita como a soma de termos mais simples. Como o denominador tem fatores lineares e quadráticos repetidos, nossa decomposição vai ser:
3x(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por (x+1)(x-1)^2:
3x = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
3x &= A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 -1) + C(x + 1) &= A x^2 - 2A x + A + B x^2 - B + C x + C
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
3x = (A + B)x^2 + (-2A + C)x + (A - B + C)

Passo 5

Comparando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação, temos:
A + B = 0 -2A + C = 3 A - B + C = 0
A partir da primeira equação, B = -A. Substituindo na terceira equação:
A - (-A) + C = 0 Rightarrow 2A + C = 0 Rightarrow C = -2A
Agora, substituindo C = -2A na segunda equação:
-2A + (-2A) = 3 Rightarrow -4A = 3 Rightarrow A = -34
Então:
B = -A = 34 e C = -2A = 32

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a decomposição:
3x(x+1)(x-1)^2 = -34(x+1) + 34(x-1) + 3/2(x-1)^2

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3x(x+1)(x-1)^2 , dx &= integral ( -34(x+1) + 34(x-1) + 3/2(x-1)^2 ) dx &= -34 ln|x+1| + 34 ln|x-1| - 32 cdot 1x-1 + C

Resposta

integral 3x(x+1)(x-1)^2 , dx = 12 ln | 3x + 5x+1 | - 4x-1 + C

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