Beleza, vamos resolver essa integral usando frações parciais. O enunciado pede para calcular a integral de 3x(x+1)(x-1)^2 , dx. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a fração pode ser escrita como a soma de termos mais simples. Como o denominador tem fatores lineares e quadráticos repetidos, nossa decomposição vai ser:
3x(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por (x+1)(x-1)^2:
3x = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito: 3x &= A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 -1) + C(x + 1) &= A x^2 - 2A x + A + B x^2 - B + C x + C
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
3x = (A + B)x^2 + (-2A + C)x + (A - B + C)
Passo 5
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação, temos: A + B = 0 -2A + C = 3 A - B + C = 0
A partir da primeira equação, B = -A. Substituindo na terceira equação:
A - (-A) + C = 0 Rightarrow 2A + C = 0 Rightarrow C = -2A