Seja f e g funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real b :
I. integral1^3 f(x+2) d x=3 b
II. O valor médio de f no intervalo [1,3] é 2 b
III. integral-4^x g(t) d t=f(x)+3 x
IV. g(x)=4 b+f^prime(x)
(a) Ache integral1^5 f(x) d x em termos de b.(Resposta: 7 b )

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , que são contínuas e diferenciáveis. Elas satisfazem algumas condições dadas em integrais e derivadas envolvendo uma constante real . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da integral de de 1 a 5, ou seja, , em termos de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, como substituição de variáveis e propriedades de integrais definidas, além de entender como o valor médio de uma função no intervalo está relacionado com sua integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição I:
integral1^3 f(x+2) , dx = 3b
Aqui, temos uma integral de integral1^3 f(x+2) , dx = integral3^5 f(u) , du = 3b no intervalo de 1 a 3. Para simplificar, podemos fazer uma substituição de variável. Vamos definir integral3^5 f(u) , du = 3b . Assim, quando , , e quando , . A integral fica:
Portanto, sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos para a condição II, que fala sobre o valor médio de Valor médio = 1b - a integrala^b f(x) , dx no intervalo [1,3]. O valor médio de uma função 13 - 1 integral1^3 f(x) , dx = 2b no intervalo [a, b] é dado por:
12 integral1^3 f(x) , dx = 2b implies integral1^3 f(x) , dx = 4b é
No nosso caso, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos encontrar integral1^5 f(x) , dx = integral1^3 f(x) , dx + integral3^5 f(x) , dx . Podemos dividir esse intervalo em duas partes: de 1 a 3 e de 3 a 5. Ou seja:
integral1^5 f(x) , dx = 4b + 3b = 7b
Já sabemos que e . Então:

Resposta

integral1^5 f(x) , dx = 7b

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