Seja
e
funções contínuas e diferenciáveis satisfazendo as seguintes condições para um certo número real
:
I.
II. O valor médio de
no intervalo
é
III.
IV.
(a) Ache
em termos de b.(Resposta:
)
I.
II. O valor médio de
III.
IV.
(a) Ache
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, que são contínuas e diferenciáveis. Elas satisfazem algumas condições dadas em integrais e derivadas envolvendo uma constante real
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da integral de
de 1 a 5, ou seja,
, em termos de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, como substituição de variáveis e propriedades de integrais definidas, além de entender como o valor médio de uma função no intervalo está relacionado com sua integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição I:
Aqui, temos uma integral de
no intervalo de 1 a 3. Para simplificar, podemos fazer uma substituição de variável. Vamos definir
. Assim, quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Portanto, sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos para a condição II, que fala sobre o valor médio de
no intervalo [1,3]. O valor médio de uma função
no intervalo [a, b] é dado por:
No nosso caso, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Podemos dividir esse intervalo em duas partes: de 1 a 3 e de 3 a 5. Ou seja:
Já sabemos que
e
. Então:
Resposta
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