A função densidade normal de probabilidade é dada por G(x)=1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 d t. Ache G^prime(x). (Resposta: 1raiz2 pi e^-x^2 / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função densidade normal de probabilidade, que é dada por:
G(x) = 1raiz2 pi integral0^x e^-t^2 / 2 , dt
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar um conceito fundamental do cálculo chamado Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Basicamente, ele diz que se você tem uma função definida por uma integral, como a nossa F(x) = integrala^x f(t) , dt , a derivada dessa função em relação a F^prime(x) = f(x) é igual à função dentro da integral avaliada no ponto .
Matematicamente, se temos:
Então,

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso, identificamos que:
f(t) = 1raiz2 pi e^-t^2 / 2
Então, de acordo com o teorema, a derivada de será simplesmente .

Passo 4

Portanto, derivando G^prime(x) = 1raiz2 pi e^-x^2 / 2 em relação a , temos:

Resposta

G^prime(x) = 1raiz2 pi e^-x^2 / 2

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Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado
(d) integral sen^3(x)raizcos (x) d x (Resposta: 2 raizcos (x)(cos ^2(x)5-1)+C)
Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais
© integral12 ln |3 x+5(x+1|-4x-1+C) 3 x(x+1)(x-1)^2 d x (Resposta:
Seja a função f(x) = 1/(x^2 - 4)
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição x = 2 sec(theta) ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.
Sejam as duas integrais abaixo:
a) integral raiz16-x^2 d x
b) integral x raiz16-x^2 d x
(a) Tente adivinhar qual delas será a maior à ser computada. Explique seus motivos.
(b) Calcule as integrais e veja qual é a maior.