Resolva as integrais abaixo:
(e) integral 1x^2+x d x( Resposta: ln |xx+1|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração em termos mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x = x(x + 1) . Podemos tirar um fator comum integral 1x(x + 1) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever Ax + Bx + 1 como:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(x + 1) + Bx para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Escolhemos valores de 1 = A(0 + 1) + B cdot 0 Rightarrow A = 1 que simplifiquem a equação:
  • Se 1 = A(-1 + 1) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 :
  • Se :

Passo 6

Agora que temos 1x(x + 1) = 1x - 1x + 1 e , podemos escrever a decomposição:

Passo 7

Substituímos de volta na integral:
integral ( 1x - 1x + 1 ) , dx = integral 1x , dx - integral 1x + 1 , dx

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x , dx = ln |x| + C1
integral 1x + 1 , dx = ln |x + 1| + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 9

Juntamos os resultados e combinamos as constantes:
ln |x| - ln |x + 1| + C
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
ln | xx + 1 | + C

Resposta

ln | xx + 1 | + C

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