Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais
(a) integral2 ln |x+5|-ln |x-2|+C) x-9x^2+3 x-10 d x (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da técnica de frações parciais para integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. O denominador é x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) . Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão .

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar x - 9(x + 5)(x - 2) = Ax + 5 + Bx - 2 e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5) e 2 - 9 = A(2 - 2) + B(2 + 5) -7 = 0 + 7B B = -1 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum -5 - 9 = A(-5 - 2) + B(-5 + 5) -14 = -7A + 0 A = 2 :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Primeiro, vamos deixar :
Agora, vamos deixar :

Passo 5

Agora que encontramos integral 2x + 5 , dx + integral -1x - 2 , dx e 2 integral 1x + 5 , dx - integral 1x - 2 , dx , podemos escrever a integral original como:
2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C
Vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de é , então:

Resposta

integral x - 9x^2 + 3x - 10 , dx = 2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C

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