Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: integral-1^0 2 x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-1^0 2 x(x^2+1)^2 d x usando o método de Integração por Substituição. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que possa ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador (x^2 + 1)^2 e o numerador 2x, percebemos que se fizermos u = x^2 + 1, a derivada de u em relação a x será du/dx = 2x. Isso é conveniente porque 2x,dx aparece no numerador.

Passo 3

Fazendo a substituição u = x^2 + 1, temos que du = 2x,dx. Assim, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral 2x(x^2 + 1)^2 dx = integral 1u^2 du
Aqui, simplificamos a integral substituindo 2x,dx por du e (x^2 + 1)^2 por u^2.

Passo 4

Agora, vamos integrar integral 1u^2 du. Sabemos que integral u^-2 du = u^-1-1 + C = -1u + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando para a variável original x, substituímos u por x^2 + 1. Então, a integral indefinida fica:
-1x^2 + 1 + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de -1 a 0. Calculamos:
[-1x^2 + 1]-1^0 = (-10^2 + 1) - (-1(-1)^2 + 1) = -1 - (-12) = -1 + 12 = -12

Resposta

O valor da integral é -12.

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