Encontre uma fórmula para .
(e.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar a função inversa de uma função que está dividida em duas partes diferentes. O conteúdo aqui envolve funções inversas e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como inverter cada parte da função original separadamente e depois juntar as duas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função original:
Para encontrar a inversa dessa parte, vamos seguir alguns passos:
  1. Trocar por :
  1. Trocar e :
  1. Resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Isolando o termo com :
Multiplicando por -1:
Finalmente, isolando :
Então, a inversa da primeira parte é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função original:
Vamos seguir o mesmo processo para encontrar a inversa:
  1. Trocar por :
  1. Trocar e :
  1. Resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :
Então, a inversa da segunda parte é:

Passo 4

Agora que temos as duas partes da função inversa, vamos juntá-las em uma única função definida por partes:

Resposta

A função inversa de é:

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Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .
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Mostre que a sequência converge para 2 .