Encontre uma fórmula para
.
(e.)
(e.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar a função inversa de uma função que está dividida em duas partes diferentes. O conteúdo aqui envolve funções inversas e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como inverter cada parte da função original separadamente e depois juntar as duas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função original:
Para encontrar a inversa dessa parte, vamos seguir alguns passos:
- Trocar
por :
- Trocar
e :
- Resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Isolando o termo com
:
Multiplicando por -1:
Finalmente, isolando
:
Então, a inversa da primeira parte é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função original:
Vamos seguir o mesmo processo para encontrar a inversa:
- Trocar
por :
- Trocar
e :
- Resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Então, a inversa da segunda parte é:
Passo 4
Agora que temos as duas partes da função inversa, vamos juntá-las em uma única função definida por partes:
Resposta
A função inversa de
é:
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Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
(g) ( ) Se
tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:
Mostre que a sequência
converge para 2 .