Calcule a integral iterada.
pela conversão para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral dupla:
O conteúdo que vai estar em jogo aqui é o de cálculo integral, especificamente a conversão para coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de
e
para
e
e também usar o Jacobian para ajustar a área durante essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. O limite de
vai de 0 a 3, e para cada
,
vai de 0 até
. Isso descreve um semicírculo de raio 3 no primeiro quadrante (onde tanto
quanto
são positivos).
Passo 3
Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares. Lembrando que:
-
-
- O elemento de área
vira -
(pois )
Com isso, a integral original fica:
Aqui,
vai de 0 a
porque estamos no primeiro quadrante, e
vai de 0 a 3, o raio do círculo.
Passo 4
Vamos resolver a integral agora. Primeiro, integraremos em relação a
:
Agora, integramos isso em relação a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
A menor região limitada pela espiral
, pelos círculos
, e pelo eixo polar
(g) ( ) Se
tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: