Calcule a integral iterada.
pela conversão para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral dupla:
O conteúdo que vai estar em jogo aqui é o de cálculo integral, especificamente a conversão para coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de e para e e também usar o Jacobian para ajustar a área durante essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. O limite de vai de 0 a 3, e para cada , vai de 0 até . Isso descreve um semicírculo de raio 3 no primeiro quadrante (onde tanto quanto são positivos).

Passo 3

Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares. Lembrando que:
  • O elemento de área vira
  • (pois )
Com isso, a integral original fica:
Aqui, vai de 0 a porque estamos no primeiro quadrante, e vai de 0 a 3, o raio do círculo.

Passo 4

Vamos resolver a integral agora. Primeiro, integraremos em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :

Resposta

A integral vale .

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Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
A menor região limitada pela espiral , pelos círculos , e pelo eixo polar
(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: