Calcule a integral iterada.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 arctg yx d y d x
pela conversão para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral dupla:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 arctg yx , dy , dx
O conteúdo que vai estar em jogo aqui é o de cálculo integral, especificamente a conversão para coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos precisar entender como mudar as variáveis de e para e e também usar o Jacobian para ajustar a área durante essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. O limite de vai de 0 a 3, e para cada , vai de 0 até . Isso descreve um semicírculo de raio 3 no primeiro quadrante (onde tanto quanto são positivos).

Passo 3

Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares. Lembrando que:
  • integral0^pi2 integral0^3 theta cdot r , dr , dtheta
  • O elemento de área vira
  • (pois )
Com isso, a integral original fica:
Aqui, vai de 0 a porque estamos no primeiro quadrante, e vai de 0 a 3, o raio do círculo.

Passo 4

Vamos resolver a integral agora. Primeiro, integraremos em relação a integral0^3 theta cdot r , dr = theta integral0^3 r , dr = theta [ 12 r^2 ]0^3 = theta ( 12 cdot 9 ) = 92 theta :
integral0^pi2 92 theta , dtheta = 92 integral0^pi2 theta , dtheta = 92 [ 12 theta^2 ]0^pi2 = 92 cdot 12 ( pi2 )^2 = 94 cdot pi^24 = 9pi^216
Agora, integramos isso em relação a :

Resposta

A integral vale .

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