(g) ( ) Se sumn=0^+infty an(x-a)^n tem raio de convergência R, então as séries sumn=1^+infty n an(x-a)^n-1 e sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1 também têm raio de convergência R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre séries de potências, que são somas infinitas da forma sumn=0^+infty an(x-a)^n. Aqui, nos dizem que essa série tem um raio de convergência R. Nosso objetivo é mostrar que duas outras séries derivadas dessa também têm o mesmo raio de convergência R. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é raio de convergência e como ele se comporta quando manipulamos a série original, como ao derivar ou integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Em uma série de potências sumn=0^+infty an(x-a)^n, o raio de convergência R é o valor tal que a série converge para todos os x no intervalo (a - R, a + R) e diverge fora desse intervalo. Para encontrar R, geralmente usamos o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira série que nos foi dada: sumn=1^+infty n an(x-a)^n-1. Observe que essa série pode ser vista como a derivada termo a termo da série original. Quando derivamos uma série de potências, o raio de convergência da série derivada geralmente é o mesmo da série original. Portanto, o raio de convergência dessa nova série deve ser R.
Para confirmar isso, podemos aplicar o Teste da Razão:
O limite permanece o mesmo que na série original, então o raio de convergência é limn to infty | (n+1)an+1(x-a)^nn an(x-a)^n-1 | = limn to infty | (n+1)n cdot an+1an cdot (x - a) | = |x - a| cdot limn to infty | an+1an | .

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda série: sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1. Podemos reescrever essa série ajustando o índice de soma:
sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1 = sumn=1^+infty an-1n(x-a)^n
Isso se assemelha à operação de integração termo a termo da série original. Assim como na derivada, integrar uma série de potências não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência dessa série também é R.
Usando o Teste da Razão novamente:
limn to infty | ann+1(x-a)^n+1an-1n(x-a)^n | = |x - a| cdot limn to infty | anan-1 cdot nn+1 | = |x - a| cdot limn to infty | anan-1 |
Novamente, o limite permanece o mesmo, confirmando que o raio de convergência é R.

Resposta

Ambas as séries sumn=1^+infty n an(x-a)^n-1 e sumn=0^+infty ann+1(x-a)^n+1 possuem raio de convergência igual a R.

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