(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre séries de potências, que são somas infinitas da forma . Aqui, nos dizem que essa série tem um raio de convergência . Nosso objetivo é mostrar que duas outras séries derivadas dessa também têm o mesmo raio de convergência . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é raio de convergência e como ele se comporta quando manipulamos a série original, como ao derivar ou integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Em uma série de potências , o raio de convergência é o valor tal que a série converge para todos os no intervalo e diverge fora desse intervalo. Para encontrar , geralmente usamos o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira série que nos foi dada: . Observe que essa série pode ser vista como a derivada termo a termo da série original. Quando derivamos uma série de potências, o raio de convergência da série derivada geralmente é o mesmo da série original. Portanto, o raio de convergência dessa nova série deve ser .
Para confirmar isso, podemos aplicar o Teste da Razão:
O limite permanece o mesmo que na série original, então o raio de convergência é .
Passo 4
Agora, vamos olhar para a segunda série: . Podemos reescrever essa série ajustando o índice de soma:
Isso se assemelha à operação de integração termo a termo da série original. Assim como na derivada, integrar uma série de potências não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência dessa série também é .
Usando o Teste da Razão novamente:
Novamente, o limite permanece o mesmo, confirmando que o raio de convergência é .
Resposta
Ambas as séries e possuem raio de convergência igual a .