Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando a técnica de Integração por Partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com e . Vamos precisar escolher quais partes das funções vamos derivar e integrar para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
Aqui, precisamos decidir qual parte da integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos aplicar novamente a Integração por Partes. Desta vez, vamos escolher:
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
Vamos chamar a integral que queremos resolver de :
Agora, somamos dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral definida de 0 a :
Vamos substituir e :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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Encontre uma fórmula para .
(e.)
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Mostre que a sequência converge para 2 .
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: