Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando a técnica de Integração por Partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com
e
. Vamos precisar escolher quais partes das funções vamos derivar e integrar para aplicar a fórmula corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
Aqui, precisamos decidir qual parte da integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada. Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 3
Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos aplicar novamente a Integração por Partes. Desta vez, vamos escolher:
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Voltando à nossa expressão inicial, temos:
Vamos chamar a integral que queremos resolver de
:
Agora, somamos
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral definida de 0 a
:
Vamos substituir
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral definida
é igual a
.
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Encontre uma fórmula para
.
(e.)
(e.)
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Mostre que a sequência
converge para 2 .
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: