Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais: integral0^pi e^x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando a técnica de Integração por Partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com e . Vamos precisar escolher quais partes das funções vamos derivar e integrar para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos decidir qual parte da integral será u = e^x e dv = sin x , dx e qual será du = e^x , dx e v = -cos x . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
integral e^x sin x , dx = u , v - integral v , du = e^x (-cos x) - integral (-cos x) e^x , dx
Simplificando:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral u = e^x e dv = cos x , dx . Vamos aplicar novamente a Integração por Partes. Desta vez, vamos escolher:
du = e^x , dx e v = sin x
Derivando e integrando:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral sin x , e^x , dx
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + ( e^x sin x - integral e^x sin x , dx )
Vamos chamar a integral que queremos resolver de I = integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + e^x sin x - I :
2I = -e^x cos x + e^x sin x
Agora, somamos I = e^x (sin x - cos x)2 + C dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral definida de 0 a integral0^pi e^x sin x , dx = [ e^x (sin x - cos x)2 ]0^pi :
e^pi (sin pi - cos pi)2 = e^pi (0 - (-1))2 = e^pi cdot 12 = e^pi2
Vamos substituir e^0 (sin 0 - cos 0)2 = 1 (0 - 1)2 = -12 e e^pi2 - ( -12 ) = e^pi + 12 :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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