Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
usando o método de Integração por Substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral substituindo uma parte dela por uma nova variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
. Essa expressão pode ser simplificada completando o quadrado. Vamos lá:
Isso simplifica a raiz para:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Além disso, notamos que:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Essa substituição simplificou a integral para uma forma mais fácil de trabalhar.
Passo 5
Agora, vamos resolver a nova integral:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo
e
na integral, temos:
Os
se cancelam, deixando uma integral mais simples.
Passo 7
A integral
é fácil de resolver:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à nossa substituição anterior, lembramos que
. Então, substituindo de volta:
Passo 9
Agora, lembrando que
, substituímos novamente:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Resposta
A integral calculada é:
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Mostre que a sequência
converge para 2 .
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais: