Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: integral(x+1) raizx^2+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método de Integração por Substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral substituindo uma parte dela por uma nova variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 . Essa expressão pode ser simplificada completando o quadrado. Vamos lá:
raizx^2 + 2x = raiz(x + 1)^2 - 1
Isso simplifica a raiz para:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x + 1
Então, a derivada de du = dx em relação a x = u - 1 é:
Além disso, notamos que:

Passo 4

Substituindo integral (x + 1) raizx^2 + 2x , dx = integral u raizu^2 - 1 , du e na integral original, temos:
Essa substituição simplificou a integral para uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral:
integral u raizu^2 - 1 , du
Para resolver isso, vamos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
v = u^2 - 1
Então, a derivada de dv = 2u , du Rightarrow du = dv2u em relação a é:

Passo 6

Substituindo integral u raizv cdot dv2u = 12 integral raizv , dv e na integral, temos:
Os se cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 7

A integral integral raizv , dv = integral v^1/2 , dv = 23 v^3/2 + C é fácil de resolver:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à nossa substituição anterior, lembramos que 12 cdot 23 (u^2 - 1)^3/2 + C = 13 (u^2 - 1)^3/2 + C . Então, substituindo de volta:

Passo 9

Agora, lembrando que 13 ( (x + 1)^2 - 1 )^3/2 + C , substituímos novamente:
(x + 1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:

Resposta

A integral calculada é:
13 (x^2 + 2x)^3/2 + C

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