Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método de Integração por Substituição. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral substituindo uma parte dela por uma nova variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: . Essa expressão pode ser simplificada completando o quadrado. Vamos lá:
Isso simplifica a raiz para:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Além disso, notamos que:

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Essa substituição simplificou a integral para uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo e na integral, temos:
Os se cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 7

A integral é fácil de resolver:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à nossa substituição anterior, lembramos que . Então, substituindo de volta:

Passo 9

Agora, lembrando que , substituímos novamente:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:

Resposta

A integral calculada é:

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Mostre que a sequência converge para 2 .
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:
Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais: