Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais: integral0^1 x e^-x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando Integração por Partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções que, quando derivadas ou integradas, se simplificam. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e :
  • Seja . Vamos derivar isso para encontrar .
  • Então, . Vamos integrar isso para encontrar .

Passo 3

Calculando du = ddx(x) dx = 1 cdot dx = dx e v = integral e^-x dx = -e^-x :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^-x dx = x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) cdot dx
Simplificando:
- x e^-x + integral e^-x dx

Passo 5

Agora, integramos integral e^-x dx = -e^-x :
- x e^-x - e^-x + C
Então, nossa expressão fica:
[ - x e^-x - e^-x ]0^1
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar:

Passo 6

Calculando os limites:
Para -1 cdot e^-1 - e^-1 = -2 e^-1 :
-0 cdot e^0 - e^0 = -1
Para -2 e^-1 - (-1) = -2 e^-1 + 1 :
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

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