Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando Integração por Partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções que, quando derivadas ou integradas, se simplificam. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e :
  • Seja . Vamos derivar isso para encontrar .
  • Então, . Vamos integrar isso para encontrar .

Passo 3

Calculando e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos :
Então, nossa expressão fica:
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar:

Passo 6

Calculando os limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

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