Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: integral raizx sen(1+x^3 / 2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método de Integração por Substituição, que é uma técnica pra simplificar integrais complicadas transformando em uma forma mais fácil de integrar. Basicamente, a gente escolhe uma parte da integral pra substituir por uma variável nova, geralmente , e assim a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral vai ser a nossa substituição. Olhando para u = 1 + x^3/2 , parece um bom candidato. Vamos definir:
dudx = 32 x^1/2
Agora, vamos derivar du = 32 raizx , dx em relação a raizx , dx = 23 du pra encontrar :
Ou seja:
Daqui, a gente resolve para :

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
integral raizx , sin(1 + x^3/2) , dx = integral sin(u) cdot 23 , du
A constante 23 integral sin(u) , du pode ser fatorada para fora da integral:

Passo 4

Aí, a gente integra integral sin(u) , du = -cos(u) + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto e substituir 23 ( -cos(u) ) + C = -23 cos(1 + x^3/2) + C de volta pela expressão original:

Resposta

A integral vale:
-23 cos(1 + x^3/2) + C

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