Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método de Integração por Substituição, que é uma técnica pra simplificar integrais complicadas transformando em uma forma mais fácil de integrar. Basicamente, a gente escolhe uma parte da integral pra substituir por uma variável nova, geralmente , e assim a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral vai ser a nossa substituição. Olhando para , parece um bom candidato. Vamos definir:
Agora, vamos derivar em relação a pra encontrar :
Ou seja:
Daqui, a gente resolve para :

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
A constante pode ser fatorada para fora da integral:

Passo 4

Aí, a gente integra em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto e substituir de volta pela expressão original:

Resposta

A integral vale:

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Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Mostre que a sequência converge para 2 .
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais: