Mostre que a sequência {raiz(2), raiz(2 * raiz(2)), raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), ...} converge para 2 .

Passo 1

Então, você tem uma sequência que começa com raiz(2) e, a cada passo, adiciona mais uma raiz quadrada envolvendo o número 2. Nosso objetivo aqui é mostrar que, conforme continuamos esse processo infinitamente, a sequência vai se aproximar cada vez mais de um número específico, que, neste caso, é 2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender como essa sequência se comporta. Observamos que cada termo é construído a partir do anterior, ou seja, cada novo termo é a raiz quadrada de 2 multiplicado pelo termo anterior. Podemos expressar isso de forma matemática:
Aqui, representa o n-ésimo termo da sequência.

Passo 3

Agora, vamos imaginar que essa sequência está se aproximando de um certo valor limite, que vamos chamar de L. Se a sequência realmente converge para L, então tanto quanto a_{n+1} vão se aproximar de L. Então, podemos substituir e a_{n+1} por L na nossa equação:

Passo 4

Para encontrar o valor de L, vamos resolver essa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, subtraímos de ambos os lados para trazer todos os termos para um lado da equação:
Podemos fatorar L:
Isso nos dá duas soluções possíveis:

Passo 5

Precisamos determinar qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência. Observamos que todos os termos da sequência são números positivos (já que estamos lidando com raízes quadradas de números positivos). Portanto, não faz sentido aqui, pois a sequência não está se aproximando de zero. A única opção viável é .

Resposta

Portanto, a sequência {raiz(2), raiz(2 * raiz(2)), raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), ...} converge para 2.

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