Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais: integral2^3 xraizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral u , dv = u v - integral v , du usando a técnica de Integração por Partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções, e a ideia é separar o integrando em duas partes, uma que fica mais simples ao derivar e outra que fica mais fácil de integrar. Para isso, vamos identificar quais partes serão e na fórmula de integração por partes:

Passo 2

Primeiro, escolhemos du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral 1raizx+1 , dx = integral (x+1)^-1/2 , dx . Vamos deixar , pois ao derivar, simplifica, e . Agora, precisamos encontrar e :
Para encontrar , integramos :

Passo 3

Vamos resolver a integral para encontrar v = integral (x+1)^-1/2 , dx = 2 raizx+1 + C :
Como estamos lidando com uma integral definida, podemos ignorar a constante .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral2^3 xraizx+1 , dx = u v |2^3 - integral2^3 v , du
Substituindo = x cdot 2 raizx+1 |2^3 - integral2^3 2 raizx+1 , dx , , e :

Passo 5

Calculamos a primeira parte 3 cdot 2 raiz3+1 = 6 cdot 2 = 12 :
Para 2 cdot 2 raiz2+1 = 4 cdot raiz3 approx 4 cdot 1,732 = 6,928 :
x cdot 2 raizx+1 |2^3 = 12 - 6,928 = 5,072
Para :
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral 2 integral2^3 raizx+1 , dx = 2 integral2^3 (x+1)^1/2 , dx :
Fatoramos o 2:
2 cdot [ 23 (x+1)^3/2 ]2^3 = 43 [ (x+1)^3/2 ]2^3
Integrando:
(x+1)^3/2 = (4)^3/2 = 8
Calculando para (x+1)^3/2 = (3)^3/2 = 3 raiz3 approx 5,196 :
43 (8 - 5,196) = 43 cdot 2,804 approx 3,738
Para :
Então:

Resposta

Agora, substituímos os valores na fórmula de integração por partes:
integral2^3 xraizx+1 , dx = 5,072 - 3,738 = 1,334
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 1,334.

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