Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: integral tg(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de Integração por Substituição. Aqui, estamos trabalhando com o cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é Integração por Substituição. É uma técnica que nos ajuda a simplificar integrais complicadas, fazendo uma mudança de variável. A ideia é escolher uma parte da integral que, se substituída por uma nova variável , torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Na nossa integral , sabemos que . Observando isso, podemos escolher porque a derivada de é , que aparece na expressão da tangente.

Passo 4

Vamos fazer a substituição:
u = cos(x) dudx = -sin(x) du = -sin(x) , dx sin(x) , dx = -du
Substituindo na integral:
integral tg(x) , dx = integral sin(x)cos(x) , dx = integral -duu = -integral 1u , du

Passo 5

Agora, integramos -integral 1u , du = -ln|u| + C em relação a -ln|cos(x)| + C :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de integral tg(x) , dx = -ln|cos(x)| + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados