Calcule as integrais trigonométricas abaixo: integral0^pi cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para facilitar a integração de potências de cosseno, a gente pode usar a identidade de potência reduzida. Sabemos que:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Como temos cos^4 x = (1 + cos 2x2)^2 , vamos reescrever isso como e aplicar a identidade acima:

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
cos^4 x = 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4
Ainda temos cos^2 2x = 1 + cos 4x2 , que também podemos simplificar usando a mesma identidade de potência reduzida:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de cos^4 x = 1 + 2cos 2x + 1 + cos 4x24 :
cos^4 x = 2 + 4cos 2x + 1 + cos 4x8 = 3 + 4cos 2x + cos 4x8
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, podemos integrar termo a termo:
integral0^pi cos^4 x , dx = integral0^pi 3 + 4cos 2x + cos 4x8 , dx = 18 ( integral0^pi 3 , dx + integral0^pi 4cos 2x , dx + integral0^pi cos 4x , dx )

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:

Passo 7

Somando os resultados:
18 (3pi + 0 + 0) = 3pi8

Resposta

O valor da integral é .

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