Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição: integral0^1 x^2(5-x^3)^9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 x^2(5-x^3)^9 d x usando o método de Integração por Substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a gente tem x^2 multiplicando (5 - x^3)^9. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função composta vamos substituir. Olha só, dentro do parêntese temos 5 - x^3. Essa expressão está elevada à nona potência e é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:
u = 5 - x^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = -3x^2
Isso significa que:
du = -3x^2 dx
Ou rearranjando para encontrar x^2 dx:
x^2 dx = -13 du

Passo 4

Vamos substituir u e x^2 dx na integral original. Ficamos com:
integral0^1 x^2(5-x^3)^9 dx = integralu(0)^u(1) (u)^9 (-13 du)
Simplificando os limites de integração:
  • Quando x = 0, u = 5 - 0 = 5
  • Quando x = 1, u = 5 - 1 = 4
    Então:
-13 integral5^4 u^9 du

Passo 5

Vamos trocar os limites de integração para deixar a integral com limites crescentes, o que elimina o sinal negativo:
13 integral4^5 u^9 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^9 em relação a u. A integral de u^n é:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso aqui:
integral u^9 du = u^1010
Então:
13 [ u^1010 ]4^5 = 130 [ u^10 ]4^5

Passo 7

Vamos calcular u^10 nos limites de 5 e 4:
130 (5^10 - 4^10)
Calculando os valores:
  • 5^10 = 9.765.625
  • 4^10 = 1.048.576
    Então:
130 (9.765.625 - 1.048.576) = 130 (8.717.049)

Passo 8

Finalmente, vamos dividir por 30:
8.717.04930 approx 290.568,3

Resposta

A integral integral0^1 x^2(5-x^3)^9 d x é aproximadamente igual a 290.568,3.

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