Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de Integração por Substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a gente tem
multiplicando
. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função composta vamos substituir. Olha só, dentro do parêntese temos
. Essa expressão está elevada à nona potência e é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculando:
Isso significa que:
Ou rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Ficamos com:
Simplificando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Então:
Passo 5
Vamos trocar os limites de integração para deixar a integral com limites crescentes, o que elimina o sinal negativo:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é:
Aplicando isso aqui:
Então:
Passo 7
Vamos calcular
nos limites de 5 e 4:
Calculando os valores:
-
-
Então:
Passo 8
Finalmente, vamos dividir por 30:
Resposta
A integral
é aproximadamente igual a
.
Exercícios relacionados
A menor região limitada pela espiral
, pelos círculos
, e pelo eixo polar
Determine o domínio das funções:
(b)
(b)
Calcule a integral iterada.
pela conversão para coordenadas polares.
(g) ( ) Se
tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.