Calcule as integrais a seguir, usando o método de Integração por Substituição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de Integração por Substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a gente tem multiplicando . Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função composta vamos substituir. Olha só, dentro do parêntese temos . Essa expressão está elevada à nona potência e é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Calculando:
Isso significa que:
Ou rearranjando para encontrar :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Ficamos com:
Simplificando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Então:

Passo 5

Vamos trocar os limites de integração para deixar a integral com limites crescentes, o que elimina o sinal negativo:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é:
Aplicando isso aqui:
Então:

Passo 7

Vamos calcular nos limites de 5 e 4:
Calculando os valores:

  • Então:

Passo 8

Finalmente, vamos dividir por 30:

Resposta

A integral é aproximadamente igual a .

Exercícios relacionados

A menor região limitada pela espiral , pelos círculos , e pelo eixo polar
Determine o domínio das funções:
(b)
Calcule a integral iterada.
pela conversão para coordenadas polares.
(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .