A menor região limitada pela espiral , pelos círculos , e pelo eixo polar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a menor região limitada pela espiral , pelos círculos e , e pelo eixo polar (que é quando ). Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
Espiral : Podemos reescrever como . Essa é uma espiral logarítmica que se aproxima do eixo polar conforme cresce.
Círculos e : São círculos concêntricos com raios 1 e 3, respectivamente.
Eixo polar : É a reta onde .
Passo 3
Vamos identificar os pontos de interseção entre a espiral e os círculos para determinar os limites de integração:
Para : → radiano.
Para : → radiano.
Isso nos mostra que a espiral intersecta os círculos e nos ângulos e radianos, respectivamente.
Passo 4
Para calcular a área da região limitada, vamos dividir a área em duas partes:
Área entre a espiral e o círculo de a .
Área entre a espiral e o círculo de a .
Vamos calcular cada uma separadamente e depois somá-las.
Passo 5
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Vamos aplicar isso para as duas regiões identificadas.
Passo 6
Primeira parte (entre a espiral e ):
Limites de integração: a
Então,
Passo 7
Segunda parte (entre a espiral e ):
Limites de integração: a
Como nesse intervalo, precisamos inverter:
Passo 8
Agora, vamos calcular as integrais:
Para :
Integrando:
Como área não pode ser negativa, consideramos unidades quadradas.
Para :
Integrando:
Aqui percebemos que quando aproxima de 0, tende ao infinito, o que sugere que a área tende ao infinito. No entanto, como estamos buscando a menor região limitada, consideramos que essa parte não contribui para a área finita que queremos.
Resposta
A menor região limitada pelas curvas dadas possui uma área de unidades quadradas.