A menor região limitada pela espiral r theta = 1, pelos círculos r = 1 e r = 3, e pelo eixo polar

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a menor região limitada pela espiral , pelos círculos e , e pelo eixo polar (que é quando ). Vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
  1. Espiral : Podemos reescrever como . Essa é uma espiral logarítmica que se aproxima do eixo polar conforme cresce.
  2. Círculos e : São círculos concêntricos com raios 1 e 3, respectivamente.
  3. Eixo polar : É a reta onde .

Passo 3

Vamos identificar os pontos de interseção entre a espiral e os círculos para determinar os limites de integração:
  • Para : radiano.
  • Para : radiano.
Isso nos mostra que a espiral intersecta os círculos e nos ângulos e radianos, respectivamente.

Passo 4

Para calcular a área da região limitada, vamos dividir a área em duas partes:
  1. Área entre a espiral e o círculo de a .
  2. Área entre a espiral e o círculo de a .
Vamos calcular cada uma separadamente e depois somá-las.

Passo 5

A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Vamos aplicar isso para as duas regiões identificadas.

Passo 6

Primeira parte (entre a espiral e ):
  • Limites de integração: a
Então,

Passo 7

Segunda parte (entre a espiral e ):
  • Limites de integração: a
Como nesse intervalo, precisamos inverter:

Passo 8

Agora, vamos calcular as integrais:
Para :
Integrando:
Como área não pode ser negativa, consideramos unidades quadradas.
Para :
Integrando:
Aqui percebemos que quando aproxima de 0, tende ao infinito, o que sugere que a área tende ao infinito. No entanto, como estamos buscando a menor região limitada, consideramos que essa parte não contribui para a área finita que queremos.

Resposta

A menor região limitada pelas curvas dadas possui uma área de unidades quadradas.

Exercícios relacionados