Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:
integral xraiz5-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição! A gente tem que calcular:
integral xraiz5 - 4x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada que simplifica a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olhando para o denominador raiz5 - 4x^2, uma boa ideia é deixar essa expressão ser substituída por uma única variável.
Vamos definir:
u = 5 - 4x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral. Vamos derivar u:
dudx = -8x
Isso dá:
du = -8x , dx Rightarrow x , dx = -du8

Passo 4

Agora, substituímos u e x , dx na integral original:
integral xraiz5 - 4x^2 , dx = integral xraizu cdot dx = integral -du8raizu = -18 integral u^-1/2 , du

Passo 5

Vamos integrar u^-1/2:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Substituindo de volta na expressão:
-18 cdot 2u^1/2 + C = -14 raizu + C

Resposta

Substituindo u = 5 - 4x^2 de volta, a integral fica:
integral xraiz5 - 4x^2 , dx = -14 raiz5 - 4x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

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